ધારો કે f: [0, frac{pi}{2}] rightarrow [0, 1] | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) $(1)$ ધારો કે $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2} dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2} dx$.ધાર

Vedclass · Accepted Answer

$0, 0.25$

Vedclass · Answer

(B) $(1)$ ધારો કે $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2} dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\pi x}{2} - x^2} dx$.ધારો કે $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2 - (x - \frac{\pi}{4})^2} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2 - (x - \frac{\pi}{4})^2} dx$.બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:$2I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x + \cos^2 x) \sqrt{(\frac{\pi}{4})^2 - (x - \frac{\pi}{4})^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx$.આમ,$I = 2I_1 - \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx = 0$.$(2)$ ઉપર મુજબ,$I_1 = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) dx = \frac{\pi^3}{64}$.તેથી,$\frac{16}{\pi^3} I_1 = \frac{16}{\pi^3} \cdot \frac{\pi^3}{64} = 0.25$.

Similar Questions

$\int_2^3 {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt x }}} \,dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $\alpha = 1$ અને $\beta = 1 + i\sqrt{2}$, જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ એ સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ ના બે બીજ છે, જ્યાં $a, b, c \in R$, તો $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ ની કિંમત શોધો:

$\sum_{n=1}^{10} \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan x} \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module