y=frac{sqrt[3]{1+3 x} sqrt[4]{1+4 x} sqrt[5]{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $y=\frac{\sqrt[3]{1+3 x} \sqrt[4]{1+4 x} \sqrt[5]{1+5 x}}{\sqrt[7]{1+7 x} \sqrt[8]{1+8 x}}$.दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर

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$1$

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(C) दिया गया है $y=\frac{\sqrt[3]{1+3 x} \sqrt[4]{1+4 x} \sqrt[5]{1+5 x}}{\sqrt[7]{1+7 x} \sqrt[8]{1+8 x}}$.दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:$\log y = \frac{1}{3} \log (1+3 x) + \frac{1}{4} \log (1+4 x) + \frac{1}{5} \log (1+5 x) - \frac{1}{7} \log (1+7 x) - \frac{1}{8} \log (1+8 x)$.$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1+3 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{1+4 x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1+5 x} - \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{1+7 x} - \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{1+8 x}$.$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1+3 x} + \frac{1}{1+4 x} + \frac{1}{1+5 x} - \frac{1}{1+7 x} - \frac{1}{1+8 x}$.$x=0$ पर,$y = \frac{\sqrt[3]{1} \sqrt[4]{1} \sqrt[5]{1}}{\sqrt[7]{1} \sqrt[8]{1}} = 1$.$x=0$ और $y=1$ का मान अवकलज समीकरण में रखने पर:$\frac{1}{1} \left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = \frac{1}{1+0} + \frac{1}{1+0} + \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1+0} - \frac{1}{1+0} = 1 + 1 + 1 - 1 - 1 = 1$.अतः,$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=0} = 1$.

$y=\frac{\sqrt[3]{1+3 x} \sqrt[4]{1+4 x} \sqrt[5]{1+5 x}}{\sqrt[7]{1+7 x} \sqrt[8]{1+8 x}}$ है। तो $x=0$ पर $\frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $y = ((x+1)(4x+1)(9x+1) \ldots (n^2x+1))^2$ है,तो $x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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