यदि f(x) = frac{e^{-x} sin x}{log_e x} और f'( | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln f(x) = \ln(e^{-x}) + \ln(\sin x) - \ln(\ln x) =

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$2e^{-2} - \operatorname{cosec}^2(e)$

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(C) दिया गया है $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln f(x) = \ln(e^{-x}) + \ln(\sin x) - \ln(\ln x) = -x + \ln(\sin x) - \ln(\ln x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{x \ln x}$.चूंकि $f'(x) = f(x) \cdot g(x)$, इसलिए $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = -1 + \cot x - \frac{1}{x \ln x}$.$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $g'(x) = -\operatorname{cosec}^2 x - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x \ln x} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x - \left( \frac{-(1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x})}{(x \ln x)^2} \right) = -\operatorname{cosec}^2 x + \frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2}$.$x = e$ रखने पर: $g'(e) = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{\ln e + 1}{e^2 (\ln e)^2} = -\operatorname{cosec}^2(e) + \frac{1 + 1}{e^2 (1)^2} = 2e^{-2} - \operatorname{cosec}^2(e)$.

यदि $f(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{\log_e x}$ और $f'(x) = f(x) \cdot g(x)$ है, तो $g'(e) =$

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