text{फलन } f(x) = begin{cases} tan^{-1} x, & | vedclass

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Question

(C) $	ext{दिया गया है } f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & x  1 \end{cases}$$\

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$R-\{-1, 1\}$

Vedclass · Answer

(C) $	ext{दिया गया है } f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x-1), & x  1 \end{cases}$$	ext{अवकलज } f'(x) 	ext{ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:}$$f'(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}, & x  1 \end{cases}$$	ext{बिंदु } x = -1 	ext{ पर: बायां अवकलज } = -\frac{1}{2}, 	ext{ दायां अवकलज } = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}. 	ext{ चूंकि } -\frac{1}{2} 
eq \frac{1}{2}, 	ext{ इसलिए } f(x), x = -1 	ext{ पर अवकलनीय नहीं है.}$$	ext{बिंदु } x = 1 	ext{ पर: बायां अवकलज } = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}, 	ext{ दायां अवकलज } = \frac{1}{2}. 	ext{ हालांकि, सांतत्य की जांच करने पर: } f(1) = 	an^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}, 	ext{ लेकिन } \lim_{x 	o 1^+} f(x) = \frac{1}{2}(1-1) = 0. 	ext{ चूंकि } f(x), x = 1 	ext{ पर असंतत है, इसलिए यह } x = 1 	ext{ पर अवकलनीय नहीं है.}$$	ext{अतः, } f'(x) 	ext{ का प्रांत } R - \{-1, 1\} 	ext{ है.}$

$\text{फलन } f(x) = \begin{cases} \tan^{-1} x, & \text{यदि } |x| \le 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & \text{यदि } |x| > 1 \end{cases} \text{ के अवकलज का प्रांत क्या है?}$

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सिद्ध कीजिए कि $f(x) = [x], 0 < x < 3$ द्वारा परिभाषित महत्तम पूर्णांक फलन $x = 1$ और $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।

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