यदि f(x) = begin{cases} e^x + a & text{for } | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। $x = 0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+}

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$-4$

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(C) $f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर सतत होना चाहिए। $x = 0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ $\lim_{x 	o 0^-} (e^x + a) = e^0 + a = 1 + a$ $\lim_{x 	o 0^+} (x - 3) = 0 - 3 = -3$ इन दोनों की तुलना करने पर,$1 + a = -3 \Rightarrow a = -4$ प्राप्त होता है। अब,बाएं हाथ के अवकलज $(LHD)$ और दाएं हाथ के अवकलज $(RHD)$ का उपयोग करके $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें: $LHD = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(e^{-h} - 4) - (-3)}{-h} = \lim_{h 	o 0} \frac{e^{-h} - 1}{-h} = 1$ $RHD = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{(h - 3) - (-3)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h}{h} = 1$ चूंकि $LHD = RHD = 1$ है,इसलिए $a = -4$ पर फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} e^x + a & \text{for } x < 0 \\ x - 3 & \text{for } x \geqslant 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर अवकलनीय है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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