कथन (A): f(x) = |x|,x = a neq 0 पर अवकलनीय है | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = |x|$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:$f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \ -x, & x < 0 \end{cases}$$x = 0$ पर,बायां अवकलज $\lim_{h

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$A$ सही है,$R$ सही है,$R$,$A$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(A) फलन $f(x) = |x|$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:$f(x) = \begin{cases} x, & x \geq 0 \ -x, & x $x = 0$ पर,बायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1$ है।दायां अवकलज $\lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$ है।चूंकि बायां अवकलज $
eq$ दायां अवकलज है,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।हालाँकि,$f(x)$ हर जगह सतत है,जिसमें $x = 0$ भी शामिल है।किसी भी $x = a 
eq 0$ के लिए,फलन स्थानीय रूप से रैखिक ($x$ या $-x$) है,इसलिए यह अवकलनीय है।अतः,कथन $(A)$ सही है।कारण $(R)$ कलन (calculus) का एक मूलभूत प्रमेय बताता है: अवकलनीयता निरंतरता (सततता) को सूचित करती है,लेकिन निरंतरता अवकलनीयता को सूचित नहीं करती है। यह प्रमेय बताता है कि $f(x) = |x|$,$x = 0$ पर सतत क्यों है लेकिन वहां अवकलनीय नहीं है।इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} e^x + a & \text{for } x < 0 \\ x - 3 & \text{for } x \geqslant 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर अवकलनीय है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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