मान लीजिए f(x) = begin{cases} x^2 left| cos f | vedclass

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Question

(B) $(i)$ $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच: $LHD = f'(0^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(-h)^2 |\cos(-\pi/h)| - 0}{-

Vedclass · Accepted Answer

$x=0$ पर अवकलनीय है लेकिन $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(B) $(i)$ $x=0$ पर अवकलनीयता की जाँच: $LHD = f'(0^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(-h)^2 |\cos(-\pi/h)| - 0}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} -h |\cos(\pi/h)| = 0$. $RHD = f'(0^+) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{h^2 |\cos(\pi/h)| - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^+} h |\cos(\pi/h)| = 0$. चूँकि $LHD = RHD = 0$,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है। $(ii)$ $x=2$ पर अवकलनीयता की जाँच: $f(2) = 2^2 |\cos(\pi/2)| = 0$. $RHD = f'(2^+) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(2+h)^2 |\cos(\pi/(2+h))|}{h}$. छोटे $h > 0$ के लिए $\cos(\pi/(2+h)) > 0$ है,इसलिए $|\cos(\pi/(2+h))| = \cos(\pi/(2+h)) = \sin(\pi/2 - \pi/(2+h)) = \sin(\pi h / (2(2+h)))$. $RHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(2+h)^2 \sin(\pi h / (2(2+h)))}{h} = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$. $LHD = f'(2^-) = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(2-h)^2 |\cos(\pi/(2-h))|}{-h}$. छोटे $h > 0$ के लिए $\cos(\pi/(2-h)) $LHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(2-h)^2 \sin(\pi h / (2(2-h)))}{-h} = 4 \cdot (-\pi/4) = -\pi$. चूँकि $LHD 
eq RHD$,$f(x)$ $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^2 \left| \cos \frac{\pi}{x} \right|, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$,$x \in \mathbb{R}$,तो $f$ है

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मान लीजिए $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ . . . . पर अवकलनीय है।

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