int frac{operatorname{cosec} x , dx}{cos^2(1 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec} x \, dx}{\cos^2(1 + \log 	an \frac{x}{2})}$.माना $t = 1 + \log(	an \frac{x}{2})$.दोनों पक्षों का $x$ क

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$	an(1 + \log(	an \frac{x}{2})) + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है

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(A) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec} x \, dx}{\cos^2(1 + \log 	an \frac{x}{2})}$.माना $t = 1 + \log(	an \frac{x}{2})$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$dt = \frac{1}{	an \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \, dx$.सर्वसमिका $	an \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$ और $\sec^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ का उपयोग करने पर:$dt = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} \, dx$.चूँकि $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$,इसलिए $dt = \frac{1}{\sin x} \, dx = \operatorname{cosec} x \, dx$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \sec^2 t \, dt$.समाकलन करने पर,$I = 	an t + c$ प्राप्त होता है।$t$ का मूल मान वापस रखने पर,$I = 	an(1 + \log(	an \frac{x}{2})) + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{\operatorname{cosec} x \, dx}{\cos^2(1 + \log \tan \frac{x}{2})} = $

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यदि $f(x) = \frac{1}{(\cos^2 x) \sqrt{1 + \tan x}}$ है,तो इसका प्रति-अवकलज $F(x) = . . . . . . .$,जहाँ $F(0) = 4$ दिया गया है।

मान लीजिए $I(x)=\int \frac{6}{\sin ^2 x(1-\cot x)^2} d x$. यदि $I(0)=3$ है,तो $I\left(\frac{\pi}{12}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \frac{\sin 2x (1 - \frac{3}{2} \cos x)}{e^{\sin^2 x + \cos^3 x}} \, dx =$

$\int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^e+e^x} d x=$

$\int \frac{1 + \tan^{2} x}{1 - \tan^{2} x} dx =$

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