int frac{x^3}{sqrt{1+x^2}} dx = a(1+x^2)^{fra | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{1+x^2}} dx$. $t = \sqrt{1+x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = 1+x^2$ और $

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$\frac{-2}{3}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = \int \frac{x^2 \cdot x}{\sqrt{1+x^2}} dx$. $t = \sqrt{1+x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$t^2 = 1+x^2$ और $x^2 = t^2 - 1$. अवकलन करने पर,$2t dt = 2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = t dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{(t^2 - 1) t dt}{t} = \int (t^2 - 1) dt$. समाकलन करने पर,$I = \frac{t^3}{3} - t + c$. $t = \sqrt{1+x^2}$ वापस रखने पर,$I = \frac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{3} - \sqrt{1+x^2} + c$. दिए गए व्यंजक $a(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + b \sqrt{1+x^2} + c$ से तुलना करने पर,$a = \frac{1}{3}$ और $b = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$a+b = \frac{1}{3} - 1 = \frac{-2}{3}$.

$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = a(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + b \sqrt{1+x^2} + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है)। $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

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