int log x cdot(log x+2) dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \log x \cdot (\log x + 2) dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int t(t +

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$x(\log x)^{2}+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \log x \cdot (\log x + 2) dx$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int t(t + 2) e^t dt = \int (t^2 + 2t) e^t dt$। मानक समाकलन सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर। यहाँ,यदि $f(t) = t^2$ है,तो $f'(t) = 2t$ होगा। इस प्रकार,$I = e^t (t^2) + c$। $t = \log x$ वापस रखने पर,हमें $I = x(\log x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

$\int \log x \cdot(\log x+2) dx =$

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$ \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$ का प्रतिअवकलज (antiderivative) $e^x$ है और $g(x)$ का प्रतिअवकलज $\cos x$ है,तो $\int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx = $

यदि $\int \frac{3-x^2}{1-2 x+x^2} e^x d x=e^x f(x)+c$ है, तो $f(x)$ क्या है?

मान लीजिए $f(t) = \int \left( \frac{1 - \sin(\ln t)}{1 - \cos(\ln t)} \right) dt$, $t > 1$ के लिए। यदि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2}$ और $f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int {{e^x}(1 + \tan x + {{\tan }^2}x)\,dx = } $

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