int frac{2 x^2-1}{x^4-x^2-20} d x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{2 x^2-1}{x^4-x^2-20} d x$. $x^2 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,समाकल्य $\frac{2 t-1}{t^2-t-20} = \frac{2 t-1}{(t-5)(t+4)}$ हो जाता

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$\frac{1}{2 \sqrt{5}} \log \left|\frac{x-\sqrt{5}}{x+\sqrt{5}}ight|+\frac{1}{2} 	an ^{-1}\left(\frac{x}{2}ight)+c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{2 x^2-1}{x^4-x^2-20} d x$. $x^2 = t$ प्रतिस्थापित करने पर,समाकल्य $\frac{2 t-1}{t^2-t-20} = \frac{2 t-1}{(t-5)(t+4)}$ हो जाता है। आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,माना $\frac{2 t-1}{(t-5)(t+4)} = \frac{A}{t-5} + \frac{B}{t+4}$. तब $2t-1 = A(t+4) + B(t-5)$. $t=5$ के लिए,$9 = 9A \implies A=1$. $t=-4$ के लिए,$-9 = -9B \implies B=1$. अतः,$I = \int \left( \frac{1}{x^2-5} + \frac{1}{x^2+4} ight) d x$. मानक समाकलनों $\int \frac{1}{x^2-a^2} d x = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} ight| + c$ और $\int \frac{1}{x^2+a^2} d x = \frac{1}{a} 	an^{-1} \left( \frac{x}{a} ight) + c$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{x-\sqrt{5}}{x+\sqrt{5}} ight| + \frac{1}{2} 	an^{-1} \left( \frac{x}{2} ight) + c$.

$ \int \frac{2 x^2-1}{x^4-x^2-20} d x $

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मान लीजिए $f(x) = \int \frac{x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$ है। यदि $f(3) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{5}{6}\right)$ है,तो $f(0)$ ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{e^x}{(1 + e^x)(2 + e^x)} dx = $

$\int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx =$

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