lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n^3+1}+frac | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3+1}$ है।चूंकि हर $n^3+1$,$k$ से स्वतंत्र है,इसलिए हम $S_n = \frac{1}{n^3+1} \sum_{k=1}^{n} k^

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$\frac{1}{3}$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3+1}$ है।चूंकि हर $n^3+1$,$k$ से स्वतंत्र है,इसलिए हम $S_n = \frac{1}{n^3+1} \sum_{k=1}^{n} k^2$ लिख सकते हैं।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ प्राप्त होता है।अतः,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+1)}$।$n \rightarrow \infty$ के लिए सीमा ज्ञात करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3+6}$ प्राप्त होता है।अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{6}{n^3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3+1}+\frac{4}{n^3+1}+\frac{9}{n^3+1}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+1} = $

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{\frac{1}{x-1}} - 2}{e^{\frac{1}{x-1}} + 2} & x \neq 1 \\ 1 & x = 1 \end{cases}$

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