एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फलन (p.d | vedclass

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Question

(A) चरण $1$: $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ गुणधर्म का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करें।$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0

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$\frac{1}{3}$

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(A) चरण $1$: $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ गुणधर्म का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करें।$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = k(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = k(\frac{1}{6}) = 1 \implies k = 6$.चरण $2$: शर्त $P(X > a) = \frac{20}{27}$ का उपयोग करें।$P(X > a) = \int_{a}^{1} 6(x - x^2) dx = \frac{20}{27}$.$6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = \frac{20}{27}$.$6 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3})] = \frac{20}{27}$.$6 [\frac{1}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3}] = \frac{20}{27}$.$1 - 3a^2 + 2a^3 = \frac{20}{27}$.$2a^3 - 3a^2 + 1 - \frac{20}{27} = 0 \implies 2a^3 - 3a^2 + \frac{7}{27} = 0$.$54a^3 - 81a^2 + 7 = 0$.$a = \frac{1}{3}$ रखने पर: $54(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{9}) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$.अतः,$a = \frac{1}{3}$ सही उत्तर है।

$X = k$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X = k)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$X$	$0$	$1$	$2$
$P(X)$	$0.4$	$0.4$	$0.2$

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एक पॉइसन वितरण में, यदि $\frac{P(X=5)}{P(X=2)}=\frac{1}{7500}$ और $\frac{P(X=5)}{P(X=3)}=\frac{1}{500}$ है, तो वितरण का माध्य ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित वितरण वाले यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण ज्ञात कीजिए:
$X = k$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$
$P(X = k)$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता फलन $P(X=r) = r/k$ है, जहाँ $r = 1, 2, 3, 4, 5$, तो $P(X=2 \text{ या } X=k/3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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