f: N rightarrow N,f(x)=x^6 द्वारा परिभाषित है | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f: N \rightarrow N$,$f(x) = x^6$ द्वारा परिभाषित है।$1$. एकैकी (one-one) के लिए जाँच:मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ जहाँ $x_1, x_2 \i

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$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $f: N \rightarrow N$,$f(x) = x^6$ द्वारा परिभाषित है।$1$. एकैकी (one-one) के लिए जाँच:मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ जहाँ $x_1, x_2 \in N$.अतः $x_1^6 = x_2^6$.चूँकि $x_1, x_2 \in N$ (प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं),हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है।अतः,$f$ एकैकी है।$2$. आच्छादक (onto) के लिए जाँच:एक फलन आच्छादक होता है यदि उसका परिसर उसके सह-प्रांत $(N)$ के बराबर हो।$f(x) = x^6$ के लिए,परिसर ${1^6, 2^6, 3^6, \dots} = {1, 64, 729, \dots}$ है।यहाँ परिसर सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (उदाहरण के लिए,$2 \in N$ है लेकिन कोई भी $x \in N$ ऐसा नहीं है कि $x^6 = 2$),इसलिए $f$ आच्छादक नहीं है।अतः,$f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

$(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$	$I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
$(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$	$II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$	$III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$	$IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है
	$V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है

$f: N \rightarrow N$,$f(x)=x^6$ द्वारा परिभाषित है,तो . . . . . . .

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