y = x^2 e^{-x} . . . . . . पर वर्धमान है। | vedclass

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Question

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $y = f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(

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$(0, 2)$

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(D) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $y = f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$.$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x) e^{-x}$.फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।$x(2 - x) > 0$ का अर्थ है $x(x - 2) यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $0$ और $2$ के बीच हो।अतः,फलन अंतराल $(0, 2)$ पर वर्धमान है।

$y = x^2 e^{-x}$ . . . . . . पर वर्धमान है।

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