int_{frac{1}{3}}^1 frac{(x-x^3)^{frac{1}{3}}} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$. घनमूल के अंदर के पद से $x^3$ को बाहर निकालने पर: $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \

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$6$

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(D) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$. घनमूल के अंदर के पद से $x^3$ को बाहर निकालने पर: $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x^3(\frac{1}{x^2}-1))^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{x(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^3} dx$. माना $u = \frac{1}{x^2} - 1$. तब $du = -\frac{2}{x^3} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^3} = -\frac{1}{2} du$. जब $x = \frac{1}{3}$,तब $u = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = 9 - 1 = 8$. जब $x = 1$,तब $u = \frac{1}{1^2} - 1 = 0$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_8^0 u^{\frac{1}{3}} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int_0^8 u^{\frac{1}{3}} du$. $I = \frac{1}{2} [\frac{u^{\frac{4}{3}}}{4/3}]_0^8 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} [u^{\frac{4}{3}}]_0^8 = \frac{3}{8} (8^{\frac{4}{3}} - 0) = \frac{3}{8} (16) = 6$. अतः,सही विकल्प $D$ है।

$\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = $ . . . . . . .

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