int sqrt{x^{2}+2 x+5} , dx का मान ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(A) हमें समाकलन $ I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले,द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें: $ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}

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$ \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2 x+5}+2 \log \left|x+1+\sqrt{x^{2}+2 x+5}\right|+C $

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(A) हमें समाकलन $ I = \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले,द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें: $ x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2} + 4 = (x+1)^{2} + 2^{2} $. अब समाकलन $ I = \int \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} \, dx $ हो जाता है। मानक सूत्र $ \int \sqrt{t^{2}+a^{2}} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \log \left|t + \sqrt{t^{2}+a^{2}}\right| + C $ का उपयोग करते हुए,जहाँ $ t = x+1 $ और $ a = 2 $ है। इन मानों को रखने पर: $ I = \frac{x+1}{2} \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}} + \frac{2^{2}}{2} \log \left|(x+1) + \sqrt{(x+1)^{2} + 2^{2}}\right| + C $. व्यंजक को सरल करने पर: $ I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{x^{2}+2x+5} + 2 \log \left|x+1 + \sqrt{x^{2}+2x+5}\right| + C $. अतः,सही विकल्प $ A $ है।

$ \int \sqrt{x^{2}+2 x+5} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

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