यदि I_n=int(cos ^n x+sin ^n x) d x और I_n-fra | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $I_n = \int (\cos^n x + \sin^n x) dx$.हम इसे $I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x dx + \int \sin^{n-1} x \sin x dx$ लिख सकते हैं।दोनों समाक

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$\cos ^{n-2} x-\sin ^{n-2} x$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $I_n = \int (\cos^n x + \sin^n x) dx$.हम इसे $I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x dx + \int \sin^{n-1} x \sin x dx$ लिख सकते हैं।दोनों समाकलनों के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:$\int \cos^{n-1} x \cos x dx$ के लिए: $u = \cos^{n-1} x$,$dv = \cos x dx$ लें। तो $du = (n-1) \cos^{n-2} x (-\sin x) dx$,$v = \sin x$ होगा।$\int \cos^{n-1} x \cos x dx = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x dx$.चूंकि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$,यह $\cos^{n-1} x \sin x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) dx = \cos^{n-1} x \sin x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ बन जाता है।इसी प्रकार,$\int \sin^{n-1} x \sin x dx$ के लिए: $u = \sin^{n-1} x$,$dv = \sin x dx$ लें। तो $du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x dx$,$v = -\cos x$ होगा।$\int \sin^{n-1} x \sin x dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ होगा।इन परिणामों को जोड़ने पर: $I_n = \frac{\cos^{n-1} x \sin x - \sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$ प्राप्त होता है।अतः $I_n - \frac{n-1}{n} I_{n-2} = \frac{\cos^{n-1} x \sin x - \sin^{n-1} x \cos x}{n} = \frac{\sin x \cos x}{n} (\cos^{n-2} x - \sin^{n-2} x)$।इसलिए,$f(x) = \cos^{n-2} x - \sin^{n-2} x$।

यदि $I_n=\int(\cos ^n x+\sin ^n x) d x$ और $I_n-\frac{n-1}{n} I_{n-2}=\frac{\sin x \cos x}{n} f(x)$ है,तो $f(x)=$

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