એક માણસ $3$ માંથી $2$ વખત સાચું બોલે છે. તે ગણ $S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ માંથી એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા પસંદ કરે છે અને જણાવે છે કે તે બેકી સંખ્યા છે. તે ખરેખર બેકી સંખ્યા હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

$3$ બોક્સની સામગ્રી નીચે મુજબ છે. જો એક બોક્સ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે અને તેમાંથી ત્રણ દડા કાઢવામાં આવે અને તે ત્રણેય અલગ-અલગ રંગના હોય,તો તે બોક્સ $2$ માંથી આવ્યા હોય તેની સંભાવના શોધો.
બોક્સ $1$ માં $1$ કાળો,$2$ સફેદ,$3$ લાલ દડા છે.
બોક્સ $2$ માં $1$ કાળો,$1$ સફેદ,$2$ લાલ દડા છે.
બોક્સ $3$ માં $5$ કાળા,$4$ સફેદ,$1$ લાલ દડા છે.

એક વ્યક્તિ કાર દ્વારા કોલેજ જાય તેની સંભાવના $\frac{1}{5}$ છે,બસ દ્વારા $\frac{2}{5}$ છે અને ટ્રેન દ્વારા $\frac{3}{5}$ છે. જો તે કાર,બસ અથવા ટ્રેન લે તો તે કોલેજ મોડો પહોંચે તેની સંભાવના અનુક્રમે $\frac{2}{7}$,$\frac{4}{7}$ અને $\frac{1}{7}$ છે. જો તે કોલેજ સમયસર પહોંચે,તો તેણે કાર દ્વારા મુસાફરી કરી હોય તેની સંભાવના કેટલી?

ધારો કે $U_1$ અને $U_2$ બે પાત્રો છે જેમાં $U_1$ માં $3$ સફેદ અને $2$ લાલ દડા છે,અને $U_2$ માં માત્ર $1$ સફેદ દડો છે. એક સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે. જો છાપ (head) આવે,તો $U_1$ માંથી $1$ દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરીને $U_2$ માં મૂકવામાં આવે છે. જો કાંટો (tail) આવે,તો $U_1$ માંથી $2$ દડા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરીને $U_2$ માં મૂકવામાં આવે છે. હવે $U_2$ માંથી $1$ દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
$1.$ $U_2$ માંથી પસંદ કરેલ દડો સફેદ હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
$(A)$ $\frac{13}{30}$ $(B)$ $\frac{23}{30}$ $(C)$ $\frac{19}{30}$ $(D)$ $\frac{11}{30}$
$2.$ આપેલ છે કે $U_2$ માંથી પસંદ કરેલ દડો સફેદ છે,તો સિક્કા પર છાપ આવી હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
$(A)$ $\frac{17}{23}$ $(B)$ $\frac{11}{23}$ $(C)$ $\frac{15}{23}$ $(D)$ $\frac{12}{23}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

થેલી $A$ માં $2$ સફેદ અને $3$ લાલ દડા છે અને થેલી $B$ માં $4$ સફેદ અને $5$ લાલ દડા છે. બે થેલીઓમાંથી એક થેલી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરીને તેમાંથી એક દડો કાઢવામાં આવે છે અને તે લાલ રંગનો છે. તો તે દડો થેલી $B$ માંથી કાઢવામાં આવ્યો હોય તેની સંભાવના શોધો.

ચાર શાળાઓ $B_1, B_2, B_3, B_4$ માં છોકરીઓની ટકાવારી અનુક્રમે $12, 20, 13, 17$ છે. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલી શાળામાંથી,એક વિદ્યાર્થીને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને તે છોકરી હોવાનું માલૂમ પડે છે. તો પસંદ કરેલી શાળા $B_2$ હોય તેની સંભાવના કેટલી?