$2{\sin ^{ - 1}}\frac{3}{5} + {\cos ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} = $

ધારો કે $(a, b) \subset (0, 2\pi)$ એ સૌથી મોટો અંતરાલ છે જેના માટે $\sin^{-1}(\sin \theta) - \cos^{-1}(\sin \theta) > 0, \theta \in (0, 2\pi)$ શરતનું પાલન થાય છે. જો $\alpha x^2 + \beta x + \sin^{-1}(x^2 - 6x + 10) + \cos^{-1}(x^2 - 6x + 10) = 0$ અને $\alpha - \beta = b - a$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

જો $3{\sin ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 4{\cos ^{ - 1}}\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 2{\tan ^{ - 1}}\frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} = \frac{\pi }{3}$ હોય,તો $x$ =

સાબિત કરો કે $\cos ^{-1} \frac{4}{5} + \cos ^{-1} \frac{12}{13} = \cos ^{-1} \frac{33}{65}$

$2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right] = $

પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,$\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}\right)$,જ્યાં $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,તે કોના બરાબર છે?