sum_{k=1}^6 left[ sin frac{2 k pi}{7} - i cos | vedclass

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Question

(D) हमारे पास है,$S = \sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$ $-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $S = \sum_{k=1}^6 (-i)

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$i$

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(D) हमारे पास है,$S = \sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$ $-i$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $S = \sum_{k=1}^6 (-i) \left( \cos \frac{2 k \pi}{7} + i \sin \frac{2 k \pi}{7} \right)$ माना $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{7}} = \cos \frac{2 \pi}{7} + i \sin \frac{2 \pi}{7}$. $S = -i \sum_{k=1}^6 \omega^k$ यह एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = -i \left( \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 \right)$ चूंकि $\omega$ इकाई का $7$ वां मूल है,$1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = 0$. अतः,$\omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 = -1$. इस मान को $S$ में रखने पर: $S = -i (-1) = i$.

$\sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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