$P$,$x+y+5=0$ पर स्थित एक बिंदु है,जिसकी $2x+3y+3=0$ से लंबवत दूरी $\sqrt{13}$ है,तो $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

रेखा $L$ जो $\frac{x}{5}+\frac{y}{b}=1$ द्वारा दी गई है,बिंदु $(13,32)$ से गुजरती है। रेखा $K$,रेखा $L$ के समानांतर है और इसका समीकरण $\frac{x}{c}+\frac{y}{3}=1$ है। तो $L$ और $K$ के बीच की दूरी $\qquad$ इकाई है।

एक चर रेखा $L$ बिंदु $(3,5)$ से होकर गुजरती है और धनात्मक निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। त्रिभुज $OAB$ का न्यूनतम क्षेत्रफल क्या है,जहाँ $O$ मूलबिंदु है:

मूलबिंदु से $(\cos \theta, \sin \theta)$ और $(\cos \phi, \sin \phi)$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

दी गई रेखाएँ $y + 2x = 3$ और $y + 2x = 5$ अक्षों को क्रमशः $A, B$ और $C, D$ पर काटती हैं।
कथन-$1$ : $ABDC$ एक चतुर्भुज बनाता है और बिंदु $(2, 3)$ चतुर्भुज के अंदर स्थित है।
कथन-$2$ : बिंदु $(2, 3)$ दो समानांतर रेखाओं के बीच स्थित है।

मान लीजिए कि व्यंजक $E = 8^a + 8^b - 3 \cdot 2^{a+b}$ का न्यूनतम मान $p$,$a = \alpha$ और $b = \beta$ पर प्राप्त होता है,तो बिंदु $P(\alpha, \beta)$ की रेखा $x + y + 2p = 0$ से लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।