lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n cot ^{- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{x}ight)$.તેથી,આપેલ પદાવલિ $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n 	an ^{-1}\left

Vedclass · Accepted Answer

$	an ^{-1} 2$

Vedclass · Answer

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{x}ight)$.તેથી,આપેલ પદાવલિ $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n 	an ^{-1}\left(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}}ight)$ છે.આપણે દલીલને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\frac{1}{r^2+1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1+(r^2-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+(r-\frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})}$.નિત્યસમ $	an ^{-1}(a) - 	an ^{-1}(b) = 	an ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}ight)$ નો ઉપયોગ કરતા:$	an ^{-1}\left(\frac{(r+\frac{1}{2})-(r-\frac{1}{2})}{1+(r+\frac{1}{2})(r-\frac{1}{2})}ight) = 	an ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}ight)$.હવે,સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બને છે:$S_n = \sum_{r=1}^n \left[	an ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}ight)ight]$$S_n = \left(	an ^{-1} \frac{3}{2} - 	an ^{-1} \frac{1}{2}ight) + \left(	an ^{-1} \frac{5}{2} - 	an ^{-1} \frac{3}{2}ight) + \dots + \left(	an ^{-1} \left(n+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1} \left(n-\frac{1}{2}ight)ight)$.બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે,અને બાકી રહે છે $S_n = 	an ^{-1}\left(n+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight)$.જ્યારે $n ightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા:$\lim _{n ightarrow \infty} S_n = 	an ^{-1}(\infty) - 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{2} - 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = 	an ^{-1}(2)$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \cot ^{-1}\left(r^2+\frac{3}{4}\right)=$

Similar Questions

$\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $\tan^{-1}x, \tan^{-1}y, \tan^{-1}z$ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો:

વિધેય $f(x) = \cos^{-1}x + 2\cot^{-1}x - 2x^3 - 4x$ ની ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

કઈ વિધેયની જોડી સમાન છે? (જ્યાં ${x}$ અને $[x]$ અનુક્રમે અપૂર્ણાંક ભાગ અને પૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે.)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module