f(x) = begin{cases} frac{e^{alpha x} - e^{x} | vedclass

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Question

(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x 	o 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।$\lim_{x 	o 0} \frac{e^{\alpha x} - e^{x} - x}{x^

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$2$

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(D) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x 	o 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।$\lim_{x 	o 0} \frac{e^{\alpha x} - e^{x} - x}{x^{2}} = \frac{3}{2}$.चूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ रूप में है,हम $L$'Hospital नियम लागू करते हैं:$\lim_{x 	o 0} \frac{\alpha e^{\alpha x} - e^{x} - 1}{2x} = \frac{3}{2}$.सीमा के अस्तित्व के लिए,$x = 0$ पर अंश का मान $0$ होना चाहिए:$\alpha e^{0} - e^{0} - 1 = 0 \implies \alpha - 1 - 1 = 0 \implies \alpha = 2$.$\alpha = 2$ के साथ $L$'Hospital नियम का पुनः उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2e^{2x} - e^{x} - 1}{2x} = \lim_{x 	o 0} \frac{4e^{2x} - e^{x}}{2} = \frac{4 - 1}{2} = \frac{3}{2}$.अतः,$\alpha$ का मान $2$ है।

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{\alpha x} - e^{x} - x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{3}{2}, & x = 0 \end{cases}$ $\alpha$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन $f$ सतत है।

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यदि फलन $f(x) = \frac{2x - \sin^{-1}x}{2x + \tan^{-1}x}, (x \neq 0)$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f$ की सांतत्यता (continuity) पर चर्चा कीजिए,जो इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$

मान लीजिए $f(x) = [x^2 - x] + |-x + [x]|$,जहाँ $x \in R$ और $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो,$f$ है

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{यदि } x \ge 2 \\ x + 1, & \text{यदि } x < 2 \end{cases}$ है, तो $\lim_{x \to 1} f(x) + \lim_{x \to 2} f(x) =$

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