मान लीजिए $f(x) = [x^2 - x] + |-x + [x]|$,जहाँ $x \in R$ और $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है। तो,$f$ है

फलन $f(x) = [x]$,जहाँ $[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से बड़ा नहीं है,है

मान लीजिए $f : [0,1] \to [0,1]$ एक सतत फलन है,तो समीकरण $f(x) = x$

मान लीजिए $f : [a, b] \rightarrow [1, \infty)$ एक सतत फलन है और $g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ को $g(x) = \begin{cases} 0 & \text{यदि } x < a \\ \int_a^x f(t) dt & \text{यदि } a \leq x \leq b \\ \int_a^b f(t) dt & \text{यदि } x > b \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो:

मान लीजिए कि $f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जिसे $f(x)=[4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ फलन $f$ $(0,1)$ में ठीक एक बिंदु पर असतत है
$(B)$ $(0,1)$ में ठीक एक ऐसा बिंदु है जिस पर फलन $f$ सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है
$(C)$ फलन $f$ $(0,1)$ में तीन से अधिक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है
$(D)$ फलन $f$ का न्यूनतम मान $-\frac{1}{512}$ है

यदि $p \neq q \neq 0$ के लिए,फलन $f(x) = \frac{\sqrt[7]{p(729+x)}-3}{\sqrt[3]{729+qx}-9}$,$x=0$ पर सतत है,तो: