$f$ के सभी असंतत बिंदुओं को ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ को $f(x) = \begin{cases} x^{10} - 1, & \text{यदि } x \le 1 \\ x^2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x^{10} - 1, & \text{यदि } x \le 1 \\ x^2, & \text{यदि } x > 1 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
स्थिति $I$: यदि $c < 1$ है,तो $f(c) = c^{10} - 1$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^{10} - 1) = c^{10} - 1 = f(c)$ है। अतः,$f$ सभी $x < 1$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 1$ है,तो हम $x = 1$ पर सीमाओं की जाँच करते हैं।
बाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^{10} - 1) = 1^{10} - 1 = 0$ है।
दाएँ पक्ष की सीमा $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2) = 1^2 = 1$ है।
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(0)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन $f$,$x = 1$ पर असंतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 1$ है,तो $f(c) = c^2$ है। सीमा $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2) = c^2 = f(c)$ है। अतः,$f$ सभी $x > 1$ के लिए संतत है।
निष्कर्ष: असंततता का एकमात्र बिंदु $x = 1$ है।