int_0^1 (1+x) log (1+x) , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x)$ और $dv = (1+x) \, dx$ लें। तब

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$\frac{-3}{4} + 2 \log 2$

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(D) माना $I = \int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x)$ और $dv = (1+x) \, dx$ लें। तब $du = \frac{1}{1+x} \, dx$ और $v = \frac{(1+x)^2}{2}$ प्राप्त होता है। $I = \left[ \frac{(1+x)^2}{2} \log(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{(1+x)^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} \, dx$ $I = \left[ \frac{4}{2} \log 2 - 0 \right] - \frac{1}{2} \int_0^1 (1+x) \, dx$ $I = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$ $I = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)$ $I = 2 \log 2 - \frac{3}{4} = \frac{-3}{4} + 2 \log 2$.

$\int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx =$

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$f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x < 1 \\ \sqrt{x}, & 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \implies \int_0^2 f(x) \, dx = ?$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{dx}{1 + a^2 \sin^2 x}$ का मान ज्ञात कीजिए :

समीकरण $\int_{-1}^{x} (8t^2 + \frac{28}{3}t + 4) dt = \frac{(\frac{3}{2})x + 1}{\log_{(x+1)} \sqrt{x+1}}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\cos x} = $

निश्चित समाकलन $\int_{2}^{3} \frac{d x}{x^{2}-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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