$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx =$

ધારો કે $I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2 x}\left(\frac{3}{\pi}+\log \left(\frac{4+\sin x}{4-\sin x}\right)\right) d x$. આપેલ છે કે $\int \frac{d x}{1+k x^2}=\frac{1}{\sqrt{k}} \tan ^{-1}(\sqrt{k} x)+c, \tan ^{-1}(0)=0$ અને $\tan ^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$. તો $3 I^2=$

ધારો કે $T > 0$ એક નિશ્ચિત સંખ્યા છે. ધારો કે $f$ એ એક સતત વિધેય છે કે જેથી તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x + T) = f(x)$ થાય. જો $I = \int_{0}^{T} f(x) dx$ હોય,તો $\int_{3}^{3 + 3T} f(2x) dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a g(x) dx$ હોય, તો $g(x) =$

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $[\bullet]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. જો $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx$ હોય, તો $\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\alpha\pi} \left( \frac{\sin^2 \theta}{\sin^6 \theta + \cos^6 \theta} \right) d\theta$ ની કિંમત . . . . . . થાય.