ધારો કે [bullet] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) પ્રથમ, આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ. $\int_{0}^{64

Vedclass · Accepted Answer

$36$

Vedclass · Answer

(B) પ્રથમ, આપણે $\alpha = \int_{0}^{64} (x^{1/3} - [x^{1/3}]) dx = \int_{0}^{64} x^{1/3} dx - \int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ ની ગણતરી કરીએ. $\int_{0}^{64} x^{1/3} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} ight]_{0}^{64} = \frac{3}{4} 	imes 256 = 192$. $\int_{0}^{64} [x^{1/3}] dx$ માટે, આપણે $[x^{1/3}]$ ની કિંમતોના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ: $= \int_{0}^{1} 0 dx + \int_{1}^{8} 1 dx + \int_{8}^{27} 2 dx + \int_{27}^{64} 3 dx = 0 + (8-1) + 2(27-8) + 3(64-27) = 7 + 38 + 111 = 156$. આમ, $\alpha = 192 - 156 = 36$. હવે, આપણે $E = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{36\pi} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$ ની કિંમત શોધીએ. વિધેયનો આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી, $E = \frac{36}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta = \frac{36 	imes 2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. ધારો કે $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. કિંગના ગુણધર્મ મુજબ, $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^2 	heta}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta$. બંનેનો સરવાળો કરતા, $2J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sin^6 	heta + \cos^6 	heta} d	heta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sec^6 	heta}{	an^6 	heta + 1} d	heta$. ધારો કે $	an 	heta = t$, તો $dt = \sec^2 	heta d	heta$. $2J = \int_{0}^{\infty} \frac{(1+t^2)^2}{t^6+1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt = \pi$. આમ $J = \pi/2$. અંતે, $E = \frac{72}{\pi} 	imes \frac{\pi}{2} = 36$.

Similar Questions

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ ની કિંમત શોધો.

જો ${u_n} = \int_0^{\pi /4} {{\tan ^n}x\,dx,} $ હોય,તો ${u_n} + {u_{n - 2}} = $

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx =$

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \cos x} = \dots$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module