int_0^1 frac{x^4+1}{x^6+1} dx = | vedclass

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Question

(A) समाकल $I = \int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर का गुणनखंड $x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ के रूप में कर सकते हैं।एक अधिक

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$\frac{\pi}{3}$

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(A) समाकल $I = \int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर का गुणनखंड $x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ के रूप में कर सकते हैं।एक अधिक प्रभावी तरीका अंश और हर को विभाजित करना है।हम $x^4+1 = (x^4-x^2+1) + x^2$ लिख सकते हैं।अतः $I = \int_0^1 \frac{x^4-x^2+1}{x^6+1} dx + \int_0^1 \frac{x^2}{x^6+1} dx$.$I = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx + \int_0^1 \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.पहले भाग के लिए,$\int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = [	an^{-1}(x)]_0^1 = 	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(0) = \frac{\pi}{4}$.दूसरे भाग के लिए,मान लीजिए $u = x^3$,तो $du = 3x^2 dx$,इसलिए $x^2 dx = \frac{du}{3}$.जब $x=0, u=0$ और जब $x=1, u=1$.इसलिए,$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{u^2+1} du = \frac{1}{3} [	an^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{3} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{12}$.दोनों भागों को जोड़ने पर,$I = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi + \pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

$\int_0^1 \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = $

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