निश्चित समाकलन int limits_0^{pi / 2} frac{sin | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ है।$\cos ^2 x = t$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवक

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$\frac{\pi}{8}$

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(A) माना $I = \int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ है।$\cos ^2 x = t$ प्रतिस्थापित करें। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \cos x (-\sin x) d x = d t$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \cos x d x = -\frac{1}{2} d t$ है।समाकलन की सीमाएँ बदलने पर:जब $x = 0$,तब $t = \cos ^2(0) = 1$ है।जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \limits_1^0 \frac{-1/2}{1+t^2} d t = \frac{1}{2} \int \limits_0^1 \frac{1}{1+t^2} d t$ प्राप्त होता है।समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$I = \frac{1}{2} [	an ^{-1}(t)]_0^1 = \frac{1}{2} (	an ^{-1}(1) - 	an ^{-1}(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$।

निश्चित समाकलन $\int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ का मान क्या है?

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