int_{0}^{infty} frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx का | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{

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$\frac{\pi}{4}$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.अंशों की तुलना करने पर: $x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(1+x) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C)$.गुणांकों की तुलना करने पर: $A+B=0$,$B+C=1$,$A+C=0$.इन्हें हल करने पर,$A = -\frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,और $C = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$I = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2(1+x)} + \frac{x+1}{2(x^{2}+1)} ight) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}$.समाकलन करने पर: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.लघुगणकीय पदों को संयोजित करने पर: $I = \left[ \frac{1}{4} \ln \left( \frac{(x^{2}+1)}{(1+x)^{2}} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.जब $x 	o \infty$,तब $\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{2}} 	o 1$,इसलिए $\ln(1) = 0$.$x=0$ पर,$\frac{1}{4} \ln(1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(0) = 0$.अतः,$I = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$ का मान क्या है?

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