int_{0}^{infty} frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx નુ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.અંશને સરખાવતા: $x = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(1+x) = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C)$.સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $A+B=0$,$B+C=1$,$A+C=0$.આ સમીકરણો ઉકેલતા,$A = -\frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,અને $C = \frac{1}{2}$ મળે છે.તેથી,$I = \int_{0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2(1+x)} + \frac{x+1}{2(x^{2}+1)} ight) dx = -\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^{2}+1} dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+1}$.સંકલન કરતા: $I = \left[ -\frac{1}{2} \ln(1+x) + \frac{1}{4} \ln(x^{2}+1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.લોગેરિધમિક પદોને ભેગા કરતા: $I = \left[ \frac{1}{4} \ln \left( \frac{(x^{2}+1)}{(1+x)^{2}} ight) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(x) ight]_{0}^{\infty}$.જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $\frac{x^{2}+1}{(1+x)^{2}} 	o 1$,તેથી $\ln(1) = 0$.$x=0$ આગળ,$\frac{1}{4} \ln(1) + \frac{1}{2} 	an^{-1}(0) = 0$.તેથી,$I = 0 + \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 ight) = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{(1+x)(x^{2}+1)} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$\int_0^\infty \frac{dx}{(x + \sqrt{x^2 + 1})^3} = $

$\int_{\pi /2}^{\pi} \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \, dx =$

નીચે આપેલા નિશ્ચિત સંકલનો માટે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:
$(i)$ $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m(x) \cos (x) d x = \frac{1}{m+1}$
(ii) $\int_0^{\pi / 2} \sin (x) \cos ^n(x) d x = \frac{1}{n+1}$

જો $I$ એ $I_1=\int_0^1 e^{-x} \cos ^2 x \, dx, I_2=\int_0^1 e^{-x^2} \cos ^2 x \, dx, I_3=\int_0^1 e^{-x^2} \, dx, I_4=\int_0^1 e^{-x^2 / 2} \, dx$ માંથી સૌથી મોટું હોય, તો

જો $\int_0^3 (3x^2 - 4x + 2) dx = k$ હોય, તો $3x^2 - 4x + 2 = \frac{3k}{5}$ નું અંતરાલ $[0, 3]$ માં આવેલું બીજ કયું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module