int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4}} x tan left(1 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x 	an \left(1+x^2ight) d x$ है। यहाँ फलन $f(x) = x 	an \left(1+x^2ight)$ है। यह जाँचने के लि

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(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x 	an \left(1+x^2ight) d x$ है। यहाँ फलन $f(x) = x 	an \left(1+x^2ight)$ है। यह जाँचने के लिए कि फलन विषम है या सम,हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करते हैं: $f(-x) = (-x) 	an \left(1+(-x)^2ight) = -x 	an \left(1+x^2ight) = -f(x)$। चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) d x = 0$ होता है। अतः,$I = 0$।

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} x \tan \left(1+x^2\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तो $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-100}^{100} \frac{x+x^3+x^5}{1+x^2+x^4+x^6} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

$\int_{-8}^{8} \frac{x^{5}+x^{3}}{4-x^{2}} \, dx = $

$\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cdot \cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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