left(0, frac{3}{4}right) वृत्तों S_1: x^2+y^2 | vedclass

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Question

(A) रेडिकल केंद्र रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। चूँकि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रेडिकल केंद्र है,यह रेडिकल अक्षों $S_1-S_2=0$ और $S_

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$\left(\frac{-11}{12}, 1\right)$

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(A) रेडिकल केंद्र रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। चूँकि $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रेडिकल केंद्र है,यह रेडिकल अक्षों $S_1-S_2=0$ और $S_2-S_3=0$ के समीकरणों को संतुष्ट करता है। पहले,रेडिकल अक्ष $S_1-S_2=0$ पर विचार करें: $(x^2+y^2-2x+6y) - (x^2+y^2+2gx-2y+6) = 0$ $(-2-2g)x + 8y - 6 = 0$. इस समीकरण में $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रखने पर: $(-2-2g)(0) + 8\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = 0 \Rightarrow 6 - 6 = 0$. यह सुसंगत है। अब,रेडिकल अक्ष $S_2-S_3=0$ पर विचार करें: $(x^2+y^2+2gx-2y+6) - (x^2+y^2-12x+2fy+3) = 0$ $(2g+12)x + (-2-2f)y + 3 = 0$. इस समीकरण में $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ रखने पर: $(2g+12)(0) + (-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) + 3 = 0$ $(-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) = -3 $ $\Rightarrow -2-2f = -4$ $\Rightarrow 2f = 2$ $\Rightarrow f = 1$. चूँकि $S_2$ और $S_3$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ लागू होती है: $2(g)(-6) + 2(-1)(f) = 6 + 3$ $-12g - 2f = 9$. $f=1$ रखने पर: $-12g - 2(1) = 9$ $\Rightarrow -12g = 11$ $\Rightarrow g = \frac{-11}{12}$. अतः,$(g, f) = \left(\frac{-11}{12}, 1\right)$.

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