$(1, 1)$ एक परवलय का शीर्ष है और $x+y+1=0$ उसकी नियता (directrix) है। यदि $(a, b)$ उसकी नाभि (focus) है और $(c, d)$ नियता और परवलय के अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो $a+b+c+d=$

यदि रेखा $y = 4 + kx$,$k > 0$,परवलय $y = x - x^{2}$ के बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा है और $V$ परवलय का शीर्ष है,तो $P$ और $V$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

कथन $(A)$: वक्र $y^2 = 4x$ और $x^2 = -2y$ बिंदु $(0,0)$ और $(2, -2)$ पर लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं।
कारण $(R)$: यदि दो वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $-1$ है,तो वक्रों को एक-दूसरे को लंबकोणीय रूप से काटने वाला कहा जाता है। निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

ढाल $\frac{1}{\sqrt{6}}$ वाला एक अभिलंब बिंदु $(0, -\alpha)$ से परवलय $x^2 = -4ay$ पर खींचा गया है,जहाँ $a > 0$ है। मान लीजिए $L$ वह रेखा है जो $(0, -\alpha)$ से होकर गुजरती है और परवलय की नियता के समानांतर है। मान लीजिए कि $L$ परवलय को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। मान लीजिए $r$ नाभिलंब की लंबाई को दर्शाता है और $s$ रेखाखंड $AB$ की लंबाई के वर्ग को दर्शाता है। यदि $r : s = 1 : 16$ है,तो $24a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(2, k)$ एक परवलय पर स्थित बिंदु है जो $(1, -3), (-1, 5), (0, 2)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है और जिसका अक्ष $Y$-अक्ष के समांतर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$P$ और $Q$ परवलय $y^2=4ax$ की नाभिलंब जीवा के अंतिम बिंदु हैं। यदि $P=(9,9)$ और $Q=(p, q)$ है,तो $p-q=$