|(a times b) cdot c| = |a| |b| |c|,यदि | vedclass

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Question

(D) अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार $|(a 	imes b) \cdot c| = |a| |b| |c| |\sin 	heta| |\cos \alpha|$,जहाँ $	heta$,$a$ और $b$ के बीच का कोण ह

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$a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$

Vedclass · Answer

(D) अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार $|(a 	imes b) \cdot c| = |a| |b| |c| |\sin 	heta| |\cos \alpha|$,जहाँ $	heta$,$a$ और $b$ के बीच का कोण है,और $\alpha$,$(a 	imes b)$ और $c$ के बीच का कोण है।दिया गया है कि $|(a 	imes b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,इसलिए $|\sin 	heta| |\cos \alpha| = 1$ है।चूंकि $|\sin 	heta|$ और $|\cos \alpha|$ का अधिकतम मान $1$ होता है,यह समानता तभी संभव है जब $|\sin 	heta| = 1$ और $|\cos \alpha| = 1$ हो।$|\sin 	heta| = 1 \Rightarrow 	heta = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $a \perp b$ $(a \cdot b = 0)$।$|\cos \alpha| = 1 \Rightarrow \alpha = 0$ या $\pi$,जिसका अर्थ है कि $c$ सदिश $(a 	imes b)$ के समानांतर है।चूंकि $(a 	imes b)$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $c$ को भी $a$ और $b$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।अतः,$c \perp a$ $(c \cdot a = 0)$ और $c \perp b$ $(c \cdot b = 0)$।इस प्रकार,$a, b, c$ परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$।

$|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,यदि

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उस समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिशों $a = i - j + k$,$b = i - 3j + 4k$ और $c = 2i - 5j + 3k$ द्वारा दी गई हैं?

यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उस समांतर षट्फलक (parallelopiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी सह-अंतिम कोर (coterminous edges) $\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}$ हैं।

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