यदि सदिश a hat{i}+hat{j}+hat{k},hat{i}+b hat{ | vedclass

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Question

(D) समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \ 1 & b & 1 \ 1 & 1 & c \end{array}ight| = 0$.

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$1$

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(D) समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \ 1 & b & 1 \ 1 & 1 & c \end{array}ight| = 0$. सारणिक का विस्तार करने पर: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$. $abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$. वैकल्पिक रूप से,पंक्ति संक्रियाओं $R_2 ightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 ightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \ 1-a & b-1 & 0 \ 1-a & 0 & c-1 \end{array}ight| = 0$. $a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$. $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $a, b, c 
eq 1$): $\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$. $\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$. चूंकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,यह मान रखने पर: $-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$. अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,और $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$ है,तो एक इकाई सदिश $\bar{d}$ ज्ञात कीजिए ताकि $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$ और $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$ हो।

यदि $3 \hat{i}+3 \hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$,$\hat{i}+\hat{k}$,और $\sqrt{3} \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}+\lambda \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिश $a\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c\hat{k}$ समतलीय हैं $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$,तो $abc-(a+b+c)$ का मान है:

निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

यदि मूल बिंदु $O(0,0,0)$ और बिंदु $P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ तथा $R(x, y, z)$ समतलीय हैं,तो:

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