lim _{n} {rightarrow infty}left[left(1+frac{1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2}\right) \right]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક

Vedclass · Accepted Answer

$2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $L = \lim _{n ightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2}ight) ight]^{\frac{1}{n}}$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\log L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}ight)^2ight)$.સરવાળાની મર્યાદા તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:$\log L = \int_0^1 \log(1 + x^2) dx$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log(1 + x^2)$ અને $dv = dx$ લેતા:$\log L = [x \log(1 + x^2)]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{1 + x^2} dx$.$\log L = \log 2 - 2 \int_0^1 \frac{x^2}{1 + x^2} dx = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}ight) dx$.$\log L = \log 2 - 2 [x - 	an^{-1} x]_0^1 = \log 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.આમ,$L = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi-4}{2}}$.

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

Similar Questions

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \prod_{r=1}^n\left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)^{\frac{2 r}{n^2}}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

સરવાળાની મર્યાદા તરીકે $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2n(2n-1) \dots (n+1))^{1/n}}{n} = $

નીચેના વિધાનો પૈકી:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module