$\det \left[ \begin{array}{ccc} \frac{a^2+b^2}{c} & c & c \\ a & \frac{b^2+c^2}{a} & a \\ b & b & \frac{c^2+a^2}{b} \end{array} \right] = $

જો $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

ધારો કે $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે.
વિધાન $1$: $AB - BA$ હંમેશા વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
વિધાન $2$: $AB - BA$ ક્યારેય એકમ શ્રેણિક (identity matrix) હોઈ શકે નહીં.

જો $P$ અને $Q$ એવા ચોરસ શ્રેણિકો છે કે જેથી $P^{2006} = O$ અને $PQ = P + Q$ થાય,તો $\det(Q)$ શું હશે?

ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જ્યાં
$a_{ij} = 1$,જો $i = j$
$a_{ij} = -x$,જો $|i - j| = 1$
$a_{ij} = 2x + 1$,અન્યથા
ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \det(A)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો $f$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $\alpha \beta \gamma = 45$; $\alpha, \beta, \gamma \in R$. જો કોઈ $x, y, z \in R$ માટે $x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$ હોય અને $xyz \neq 0$ હોય,તો $6\alpha + 4\beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો.