$a \times (b \times c)$ किसके साथ समतलीय है?

माना कि $\vec{a}=\hat{i}+\alpha \hat{j}+3 \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-\alpha \hat{j}+\hat{k}$ है। यदि समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ द्वारा निरूपित हैं और उसका क्षेत्रफल $8 \sqrt{3}$ वर्ग इकाई है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान ....... है।

सदिशों $i + j + k$ और $i + j$ दोनों के लंबवत एक सदिश है

सदिशों $\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ और $-2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है

$2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ सदिश के लंबवत और सदिशों $\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ तथा $2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के साथ समतलीय इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि $\vec{a}=(\sin x) \hat{i}+(\sin y) \hat{j}$ और $\vec{b}=(\cos x) \hat{i}+(\cos y) \hat{j}$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ क्या है?