text{यदि } int frac{1}{operatorname{cosec} x+ | vedclass

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Question

(A) $	ext{दिया गया है } I = \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \int \frac{\sin x}{1+\sin x \cos x} d x = \int \frac{2 \sin x}{2+\sin

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Vedclass · Answer

(A) $	ext{दिया गया है } I = \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \int \frac{\sin x}{1+\sin x \cos x} d x = \int \frac{2 \sin x}{2+\sin 2 x} d x$ $	ext{हम } 2 \sin x = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) 	ext{ लिख सकते हैं।}$ $	ext{अतः, } I = \int \frac{\sin x + \cos x}{2 + \sin 2x} d x - \int \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x} d x$ $	ext{दिए गए समीकरण से तुलना करने पर, } \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log |f(x)| = \int \frac{\sin x + \cos x}{2 + \sin 2x} d x$ $	ext{ध्यान दें कि } 2 + \sin 2x = 3 - (1 - \sin 2x) = 3 - (\sin x - \cos x)^2$ $	ext{माना } u = \sin x - \cos x, 	ext{ तो } du = (\cos x + \sin x) d x$ $\int \frac{du}{3 - u^2} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + u}{\sqrt{3} - u} ight| + C$ $	ext{इस प्रकार, } f(x) = \frac{\sqrt{3} + \sin x - \cos x}{\sqrt{3} - \sin x + \cos x}$ $	ext{जब } x = \frac{\pi}{3}, \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} 	ext{ और } \cos x = \frac{1}{2}$ $|f(\frac{\pi}{3})| = \left| \frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} ight| = \frac{\frac{3 \sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2}} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

$\text{यदि } \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log |f(x)| - \int \frac{\cos x-\sin x}{2+\sin 2 x} d x + c, \text{ तो } x = \frac{\pi}{3} \text{ पर } |f(x)| = $

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$-1 < x, y < 1$ के लिए, यदि $\int \frac{x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} dx + \int \frac{y}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}} dy = A(1+x)^{3/2} + B(1-x)^{3/2} + f(y)(y+1)^{3/2} + g(y)(y-1)^{3/2} + C$ है, तो $A f(y) + B g(y) =$

$\int \frac{dx}{2+\cos x} = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

यदि $I_n = \int \sin^n x \, dx$ है, तो $n I_n - (n-1) I_{n-2}$ का मान क्या होगा?

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