int frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x= | vedclass

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Question

(B) माना कि $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{(x+1) e^x}{x e^x(1+x e^x)} d x$. माना कि $t = 1

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$\log \left|\frac{x e^x}{1+x e^x}\right|+C$

Vedclass · Answer

(B) माना कि $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{(x+1) e^x}{x e^x(1+x e^x)} d x$. माना कि $t = 1 + x e^x$. तब $d t = (e^x + x e^x) d x = (1+x) e^x d x$. साथ ही, $t = 1 + x e^x$ से, हमें $x e^x = t - 1$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{d t}{(t-1) t}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t-1) t} = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $I = \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t} \right) d t = \log |t-1| - \log |t| + C = \log \left| \frac{t-1}{t} \right| + C$. $t = 1 + x e^x$ का मान वापस रखने पर: $I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x=$

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यदि $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx = \log_e {(x-1)^{\frac{5}{2}}(x^2+1)^a} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$ जहाँ $A$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $a$ का मान है

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)^3} = ?$

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