int_0^x t e^{t^2} d t का न्यूनतम मान क्या है? | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$. समाकलन ज्ञात करने के लिए, $u = t^2$ प्रतिस्थापित करें, जिससे $du = 2t dt$, जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2}

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(A) माना $f(x) = \int_0^x t e^{t^2} dt$. समाकलन ज्ञात करने के लिए, $u = t^2$ प्रतिस्थापित करें, जिससे $du = 2t dt$, जिसका अर्थ है $t dt = \frac{1}{2} du$. जब $t = 0$, तो $u = 0$. जब $t = x$, तो $u = x^2$. अतः, $f(x) = \int_0^{x^2} \frac{1}{2} e^u du = \frac{1}{2} [e^u]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (e^{x^2} - 1)$. न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें: $f'(x) = \frac{1}{2} (e^{x^2} \cdot 2x) = x e^{x^2}$. $f'(x) = 0$ रखने पर, हमें $x = 0$ प्राप्त होता है। अब, द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = e^{x^2} + x(e^{x^2} \cdot 2x) = e^{x^2} (1 + 2x^2)$. $x = 0$ पर, $f''(0) = e^0 (1 + 0) = 1$. चूंकि $f''(0) > 0$, इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। न्यूनतम मान $f(0) = \frac{1}{2} (e^0 - 1) = \frac{1}{2} (1 - 1) = 0$ है।

$\int_0^x t e^{t^2} d t$ का न्यूनतम मान क्या है?

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