int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} sin^2 x cos^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{4}{15}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx$ ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $a = -\frac{\pi}{2}$ અને $b = \frac{\pi}{2}$, તેથી $a+b = 0$.$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(-x) \cos^2(-x)(\sin(-x) + \cos(-x)) dx$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(-\sin x + \cos x) dx$ ...(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x - \sin x + \cos x) dx$$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(2 \cos x) dx$$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$કારણ કે $\sin^2 x \cos^3 x$ એ યુગ્મ વિધેય છે, તેથી $I = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$.ધારો કે $\sin x = t$, તેથી $\cos x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=1$.$I = 2 \int_0^1 t^2 (1-t^2) dt = 2 \int_0^1 (t^2 - t^4) dt$$I = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 2 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{4}{15}$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^2 x(\sin x + \cos x) dx =$

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} \frac{3 \, dx}{1+e^{\sqrt{8} \sin \left(x-\frac{3 \pi}{8}\right)}}$

$f(x) = x^4 + |x|$ માટે,ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ છે. તો $\frac{I_1}{I_2}$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ અને $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ સતત વિધેયો છે. તો સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi} [\cot x] dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module