નિશ્ચિત સંકલન int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)} \cdots(1)$ગુણધર્મ $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}ight)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} xight)} \cdots(1)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -\frac{\pi}{4}$ અને $b = \frac{\pi}{4}$,આપણને $a+b = 0$ મળે છે. તેથી,$f(x)$ એ $f(-x)$ બને છે:$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{-x \cos(-x)}ight)\left(\sin ^{4}(-x)+\cos ^{4}(-x)ight)} = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{-x \cos x}ight)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} xight)} \cdots(2)$$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1}{1+e^{x \cos x}} + \frac{1}{1+e^{-x \cos x}} ight) \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$કારણ કે $\frac{1}{1+e^{x \cos x}} + \frac{1}{1+e^{-x \cos x}} = 1$,તેથી:$2I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}$$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1+	an^2 x) \sec^2 x}{	an^4 x + 1} dx$ધારો કે $	an x = u$,તો $\sec^2 x dx = du$. જ્યારે $x 	o 0, u 	o 0$ અને $x 	o \frac{\pi}{4}, u 	o 1$:$I = \int_{0}^{1} \frac{1+u^2}{u^4+1} du = \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1}{u^2}}{u^2+\frac{1}{u^2}} du = \int_{0}^{1} \frac{1+\frac{1}{u^2}}{(u-\frac{1}{u})^2 + 2} du$ધારો કે $u-\frac{1}{u} = t$,તો $(1+\frac{1}{u^2}) du = dt$. જ્યારે $u 	o 0, t 	o -\infty$ અને $u 	o 1, t 	o 0$:$I = \int_{-\infty}^{0} \frac{dt}{t^2+2} = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} 	an^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{2}} ight) ight]_{-\infty}^{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\left(1+e^{x \cos x}\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}(2 \sin |x|+\cos |x|) d x=$

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin^{8} x}{\sin^{8} x + \cos^{8} x} dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{(\cos x)^{\sin x}}{(\cos x)^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}} d x$ નું મૂલ્ય શું છે?

સંકલન $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$ નું મૂલ્ય છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module