int_0^pi frac{theta sin theta}{1+cos ^2 theta | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{	heta \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{	heta \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ ... $(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-	heta) \sin (\pi-	heta)}{1+\cos ^2(\pi-	heta)} d 	heta$કારણ કે $\sin(\pi-	heta) = \sin 	heta$ અને $\cos(\pi-	heta) = -\cos 	heta$, તેથી:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-	heta) \sin 	heta}{1+(-\cos 	heta)^2} d 	heta = \int_0^\pi \frac{(\pi-	heta) \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ ... (ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^\pi \frac{	heta \sin 	heta + (\pi-	heta) \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta = \int_0^\pi \frac{\pi \sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin 	heta}{1+\cos ^2 	heta} d 	heta$ધારો કે $\cos 	heta = t$, તેથી $-\sin 	heta d 	heta = dt$. જ્યારે $	heta = 0, t = 1$ અને જ્યારે $	heta = \pi, t = -1$.$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$$2I = \pi [	an^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$$I = \frac{\pi^2}{4}$

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{\sin ^2 x+2 \cos ^2 x} d x=$

$\int_{5 \pi}^{25 \pi}|\sin 2 x+\cos 2 x| d x=$ ($\sqrt{2}$ માં)

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx = $

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^{50 \pi} \sqrt{1-\cos 2x} \, dx$ ($\sqrt{2}$ માં)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module