vec{n} एक इकाई सदिश है जो समतल pi के लंबवत है | vedclass

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Question

(B) दो सदिशों $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ को समाहित करने वाले और बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\ve

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$8$

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(B) दो सदिशों $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ को समाहित करने वाले और बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $(\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{\alpha} 	imes \vec{\beta}) = 0$ द्वारा दिया जाता है। सबसे पहले, लंबवत सदिश $\vec{n}' = \vec{\alpha} 	imes \vec{\beta}$ की गणना करें: $\vec{n}' = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 0 & 3 \ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(1-0) = -3\hat{i} + 7\hat{j} + \hat{k}$. समतल का समीकरण $-3(x+3) + 7(y-7) + 1(z-1) = 0$ है। इसे सरल करने पर, हमें $-3x - 9 + 7y - 49 + z - 1 = 0$ प्राप्त होता है, जो $-3x + 7y + z - 59 = 0$ है। मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ तक की लंबवत दूरी $p = \frac{|D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ है। $p = \frac{|-59|}{\sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 1^2}} = \frac{59}{\sqrt{9+49+1}} = \frac{59}{\sqrt{59}} = \sqrt{59}$. इसलिए, $\sqrt{p^2+5} = \sqrt{(\sqrt{59})^2 + 5} = \sqrt{59+5} = \sqrt{64} = 8$.

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