$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left[ {1 + \frac{1}{{mx}}} \right]^x}$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \begin{cases} x^2-1, & 0 < x < 2 \\ 2x+3, & 2 \leq x < 3 \end{cases}$ હોય,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધો જેના બીજ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$ અને $\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$ હોય.

જો $\lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \left\{ \frac{1}{x^{8}} \left( 1 - \cos \frac{x^{2}}{2} - \cos \frac{x^{2}}{4} + \cos \frac{x^{2}}{2} \cos \frac{x^{2}}{4} \right) \right\} = 2^{-k}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \lim_{y \rightarrow \infty} y(x^{1/y} - 1)$,અને $2022 f(\frac{1}{x}) + P f(x) = f(x^2)$,તો $P =$

ધારો કે $x_{n}=\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{6}\right)^{2}\left(1-\frac{1}{10}\right)^{2} \ldots \left(1-\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}}\right)^{2}, n \geq 2$ છે. તો, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2 \sin^2 x}{x^2 - \sin^2 x} \right)$ નું મૂલ્ય શું છે?