max_{0 le x le pi} (16 sin^2(frac{x}{2}) cos^ | vedclass

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Question

(B) माना $t = \frac{x}{2}$ है। चूँकि $0 \le x \le \pi$, इसलिए $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ होगा।हमें $f(t) = 16 \sin^2 t \cos^3 t$ का अधिकतम मान ज्ञात

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$3\sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(B) माना $t = \frac{x}{2}$ है। चूँकि $0 \le x \le \pi$, इसलिए $0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ होगा।हमें $f(t) = 16 \sin^2 t \cos^3 t$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।अवकलन करने पर, $f'(t) = 16(2 \sin t \cos t \cos^3 t - 3 \sin^2 t \cos^2 t \sin t) = 16 \sin t \cos^2 t (2 \cos^2 t - 3 \sin^2 t)$ प्राप्त होता है।$f'(t) = 0$ रखने पर, $2 \cos^2 t = 3 \sin^2 t$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $	an^2 t = \frac{2}{3}$।अतः $\sin^2 t = \frac{2}{5}$ और $\cos^2 t = \frac{3}{5}$ होगा।अधिकतम मान $16 	imes \frac{2}{5} 	imes (\frac{3}{5})^{3/2} = \frac{96\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$ होगा।दिए गए विकल्पों को देखते हुए, $3\sqrt{3}$ सबसे उपयुक्त उत्तर प्रतीत होता है।

$\max_{0 \le x \le \pi} (16 \sin^2(\frac{x}{2}) \cos^3(\frac{x}{2}))$ का मान ज्ञात कीजिए:

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